As figuras geométricas planas conhecidas como cônicas são formadas pela intersecção entre um plano e um cone duplo de revolução. São elas: circunferência, parábola, hipérbole e elipse. 4l2g2i
O cone duplo de revolução é um sólido geométrico tridimensional obtido por meio do giro de uma reta. A figura formada por esse giro, ou seja, o cone duplo de revolução, é representada a seguir:
Cada um dos quatro tipos de figuras formados pela intersecção do plano com o cone está relacionado a um tipo de equação, portanto, essas figuras também podem ser definidas de forma algébrica. Tanto a definição de cada uma delas quanto suas respectivas equações serão discutidas no decorrer deste artigo.
As circunferências podem ser obtidas por meio da intersecção de um plano com um cone. A definição delas é: dado um ponto C, chamado de centro, e um comprimento r, chamado de raio, a circunferência é o conjunto de pontos do plano cuja distância até C é sempre igual a r.
A imagem a seguir mostra um exemplo de circunferência com alguns de seus raios. Note que, de acordo com a definição dada, todos os segmentos de reta cujas extremidades são o centro e qualquer ponto da circunferência possuem a mesma medida.
A equação reduzida da circunferência também pode ser obtida usando a distância entre dois pontos. Dados os pontos C (a, b), centro da circunferência, e P (x, y) ponto qualquer pertencente a ela, a equação reduzida da circunferência é:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Em uma elipse, os pontos F1 e F2 são chamados de focos, e a distância entre eles é igual a 2c. Sua definição formal é: dados os pontos F1 e F2, a elipse é o conjunto de pontos P em que vale a seguinte expressão:
dPF1 + dPF2 = 2a
Isso significa que a elipse é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias até os focos é igual a uma constante. Em outras palavras, o ponto P pertence a uma elipse se a soma da distância de P até F1 com a distância de P até F2 é igual a 2a.
A figura a seguir ilustra uma elipse com as medidas de segmentos importantes encontrados nela:
As elipses possuem duas equações reduzidas. A primeira delas é válida para o caso em que os focos dessa figura estão sobre o eixo x e o centro da elipse coincide com a origem de um plano cartesiano:
x 2+ y 2= 1
a2 b2
A segunda equação reduzida é válida para os casos em que os vértices da elipse estão sobre o eixo y e seu centro sobre a origem do plano cartesiano.
y 2+ x2 = 1
a2 b2
Dada uma reta r e um foco F, a parábola é a cônica na qual todos os seus pontos têm a distância até r igual à distância até F.
A figura a seguir mostra um exemplo de parábola com o ponto P, em que vale:
dPF = dPr
Toda parábola possui um eixo de simetria, que é a reta “t” na imagem acima. Quando esse eixo coincide com o eixo x do plano cartesiano e o vértice da parábola coincide com a origem do plano cartesiano, a equação reduzida da parábola é:
y2 = 2px
Quando o eixo de simetria está sobre o eixo y e o vértice da parábola coincide com a origem do plano cartesiano, a equação reduzida da parábola é:
x2 = 2py
Dados os pontos F1 e F2, chamados de focos da hipérbole, e a distância 2c entre eles, uma hipérbole é o conjunto de pontos do plano cuja diferença das distâncias até os focos é igual à constante 2a.
Assim, se P é um ponto da hipérbole, vale a expressão:
|dPF1 – dPF2| = 2a
A imagem a seguir mostra um exemplo de hipérbole e alguns segmentos importantes em sua formação:
As equações reduzidas da hipérbole também são duas. A primeira é obtida quando os focos dessa figura estão sobre o eixo x e seu centro coincide com a origem do plano cartesiano:
x 2 – y 2= 1
a2 b2
A segunda é obtida quando os focos da hipérbole estão sobre o eixo y e seu centro coincide com a origem do plano cartesiano:
y 2 – x 2= 1
a2 b2
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
Fonte: Brasil Escola - /matematica/conicas.htm